Calculus

Курс Calculus (у українській традиції — Математичний аналіз) є одним із фундаментальних предметів у вищій математичній освіті. Він формує базу для розуміння процесів неперервності та зміни, які лежать в основі багатьох розділів прикладної та теоретичної математики, фізики, інженерії, економіки й інших галузей.

У рамках курсу студенти розглядають ключові поняття границь, похідних та інтегралів, а також опановують методи та інструменти для дослідження функцій однієї та декількох змінних. Особливу увагу приділено практичним методам розв’язання задач і розвитку навичок математичного моделювання.

Мета та завдання курсу

1. Зрозуміти фундаментальні поняття границі, неперервності, похідної, інтеграла та рядів.
2. Опанувати методи диференціювання та інтегрування функцій однієї змінної (а у розширених курсах — і багатьох змінних).
3. Навчитися аналізувати поведінку функцій, досліджувати екстремальні точки, проміжки зростання/спадання та будувати графіки.
4. Ознайомитися з рядом практичних застосувань:
   • Розв’язання прикладних задач оптимізації;
   • Обчислення площ, об’ємів і довжин кривих у геометрії;
   • Моделювання фізичних явищ (швидкість, прискорення, динамічні процеси);
   • Економічні моделі (граничний аналіз, оптимізація прибутку тощо).
5. Розвинути логічне та аналітичне мислення, необхідне для подальшого вивчення вищої математики та суміжних дисциплін.

Зміст курсу

1. Вступ до аналізу

   • Огляд історичного розвитку та значення Calculus.
   • Основні поняття: змінна, функція, графічне зображення функції.

2. Границі та неперервність

   • Означення границі функції.
   • Властивості границь (правила дій з границями, нескінченно малі та нескінченно великі функції).
   • Неперервність та типи точок розриву.
   • Теореми про неперервність (Больцано, Коші, проміжне значення тощо).

3. Похідна та диференціювання

   • Означення похідної, геометричний та фізичний зміст похідної.
   • Правила диференціювання (сума, добуток, частка, складна функція).
   • Похідні тригонометричних, показникових та логарифмічних функцій.
   • Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші, наслідки для дослідження функцій.
   • Застосування похідної: побудова графіків, пошук екстремумів, розв’язання оптимізаційних задач.

4. Інтегрування

   • Означення визначеного та невизначеного інтегралу.
   • Основні методи інтегрування (підстановка, частками, розклад на прості дроби тощо).
   • Формула Ньютона–Лейбніца та її застосування.
   • Обчислення площ, об’ємів тіл, довжини кривих.
   • Фізичні та геометричні приклади застосування інтегралів.

5. Ряди

   • Числові та функціональні ряди, поняття збіжності.
   • Критерії збіжності рядів (Геометричний, Порівняння, Д’Аламбера, Радіус збіжності тощо).
   • Ряди Тейлора та Маклорена, їх застосування для розширення функцій у степеневі ряди.

6. Функції кількох змінних (за потреби / для розширеної програми)

   • Основні означення та методи: часткові похідні, градієнт, напрямний похідний.
   • Екстремуми та критичні точки.
   • Подвійні та потрійні інтеграли, їх геометричні та фізичні застосування.

7. Диференціальні рівняння (опційно)

   • Основні типи диференціальних рівнянь першого та другого порядку.
   • Методи розв’язання і застосування в моделюванні реальних процесів.

Очікувані результати навчання

Після успішного завершення курсу студенти зможуть:

• Пояснювати основні теоретичні концепції Calculus: границю, похідну, інтеграл, збіжність рядів.
• Застосовувати правила диференціювання та інтегрування для розв’язання типових і нетипових задач.
• Аналізувати функції однієї та кількох змінних, шукати екстремуми і досліджувати їхню поведінку.
• Застосовувати набуті знання в геометрії, фізиці, економіці, інженерії тощо.
• Демонструвати навички формулювання математичних моделей та розв’язувати задачі оптимізації.

Методи навчання

• Лекції з детальними теоретичними поясненнями й ілюстраціями.
• Практичні заняття з розв’язуванням задач різної складності (в тому числі прикладних).
• Самостійна робота (опрацювання матеріалу, підготовка до контрольних робіт, виконання домашніх завдань).
• Групові дискусії та проєкти (у більш сучасних підходах до курсу), що допомагають краще зрозуміти та застосувати теоретичні знання.
• Онлайн-платформи та тестові завдання для перевірки розуміння та поточного прогресу.

Оцінювання

• Поточний контроль: короткі письмові чи онлайн-тести, самостійні роботи.
• Проміжні атестації: контрольні роботи, розв’язання задач на практичних заняттях.
• Підсумковий іспит: комплексне завдання, що охоплює теоретичні питання та практичні розрахунки.

Вимоги та рекомендації

• Базові знання з алгебри та тригонометрії (розуміння функцій, їх перетворень).
• Вміння працювати з елементарними поняттями з теорії множин та логіки (аксіоми, висновки, доведення).
• Рекомендовані джерела:
  • Stewart, J. “Calculus” (різні видання)
  • Thomas, G. B., Jr., and Finney, R. L. “Calculus and Analytic Geometry”